Örneğin123456.0 sayısı üstel olarak 1.23456e+05 biçiminde, 1.23456 sayısı ile 10 üssü 5'in sayının bit gösterimindeki ondalık kısım dolaylı olarak paydası üstel taban hassasiyetteki bir kesri ifade eder. Bu ondalık kısım ile gösterilebilecek en büyük sayı bu paydadan bir eksiği olduğundan kesrin değeri daima 2üssü 3 kaçtır. Soru: 2 üssü 3 kaçtır? Cevap: 2 üssü 3, 2 rakamının yan yana 3 defa çarpılmasıdır. Yani 2x2x2 = 8 olur. Aynı zamanda 2³ = 8 olarakta gösterilir. Önceki 24 sayısının bir basamaklı en büyük böleni ile iki basamaklı en küçük katının toplamı kaçtır. Sonraki 6.Sınıf Matematik Ders Kitabı 1Dolar Fiyatı = 17,76 TL. Dolar fiyatları anlık olarak değişkenlik göstermektedir. Şu anki güncel rakamlara göre 100 Dolar için alış fiyatı 1.783,00 TL , satış fiyatı ise 1.784,00 TL seviyelerinde bulunmaktadır. Alış satış fiyatları en son 22.07.2022 tarihinde saat 23:57 itibariyle güncellenmiştir. Üstte yer alan nazmigüven: çalışma yaprağı. ÇALIŞMA YAPRAĞI. DERS:MATEMATİK. KONU:CEBİR. METOT:BİLİŞSEL ÖĞRENME YÖNTEMİ. SÜRE:40 DAKİKA. CEBİR. CEBİR: Yapı, bağlantı ve miktar üzerine uğraşan bir matematik dalıdır. Bilinmeyen değerlerin, işaret ve harflerle sembolize edilerek kurulan denklemlerle bulunması (yada Üslüsayılar. Üslü sayılar, bir sayının kendisi ile çarpılmasını ifade eden göstergeler olarak da adlandırılabilir.Bir örnek ile üslü sayıları şu şekilde açıklayabiliriz. 5³ ifadesi, 5 sayısının 3 kere kendisi ile çarpılmasını ifade eder.Dolayısıyla 5³ ifadesi aynı zamanda 5x5x5 ifadesine bu oLjcJ. a tam sayısını n kere kendisi ile çarpma işlemi = an şeklinde gösterilir. an sayısı a’nın n. kuvveti veya a üssü n olarak okunur. Burada a’ya taban, n’ye üs veya kuvvet denir. Aslında tanım bundan ibaret! Tabii bilmemiz gereken bazı kurallar ve işlemler var. 1 sayısının tüm kuvvetleri 1’e eşittir. Örneğin 1198=1 Pozitif tam sayıların, negatif tam sayıların ve rasyonel sayıların sıfırıncı kuvveti / üssü 1 dir. Örneğin 60=1 00 belirsizdir. 02= Sıfırın pozitif kuvvetleri 0’a eşittir. Sıfırın negatif kuvvetleri tanımsızdır. Örneğin 0-8 = Tanımsızdır. 3 Üssü 5 Kaçtır?Burada 3 tabandır. 6 ise üstür. 35 = 243 şeklindedir. Cevap 3 üssü 5 sonucu 243’de üssü 5 = = 243 olarak ⇔ 3 ün karesi 9 ⇔ 3’ün küpü 27 ⇔ 3 üssü 4 81 eder. ∞ - ∞ neden sıfıra eşit değildir? ya da ∞ / ∞ neden 1'e eşit değildir? Matematiksel olarak yanlış gibi görünen bu tür işlemler, sonsuzluk kavramının tam olarak anlaşılamamasından kaynaklanmaktadır. Bu makalemde sonsuzluk kavramının tanımlarından ve sonsuz içeren matematiksel hesaplamaların nasıl yapılacağından bahsetmek istiyorum. Öncelikle sonsuz içeren bazı işlemlerin sonuçlarına göz atalım. Matematikte sonsuz kavramı hakkındaki en yaygın hata, sonsuzun sayılamayacak kadar büyük bir sayı zannedilmesidir. Fakat sonsuz, sonu belli olmayan işlemleri veya sayıları temsil eder. Çarpma, bölme, toplama, çıkarma gibi işlemlerde bazı kabuller yapılarak sonuç basitleştirilir. 10 'nu üçe bölüp sonucu yuvarlamamız gibi. Bu kabuller sonucu çok fazla değiştirmez. Fakat sonsuz ∞ içeren işlemler için kabuller yapılamaz. Çünkü sonsuzun matematiksel işlemleri farklı sonuçlara sahip olabilir. İşlemlerde birden fazla sonsuz varsa bu sonsuzların birbirine eşit olup olmadığını bilemeyiz. Örneğin aşağıdaki işlemlerin sonuçları sonsuzdur. 1+1+1+1+1+.......... = ∞ 9x9x9x9x9x.......... = ∞ İşlemlerin sonuçlarını bilmiyoruz. Sadece toplama ve çarpma işlemlerinin sonsuza kadar gittiğini biliyoruz. Bu nedenle sonuç sonsuzdur diyebiliyoruz. Ayrıca işlemlerin sonucu olan iki sonsuzun birbirine eşit olup olmadığını da bilmiyoruz. Eşit olsaydı 1+1+1+... = 9x9x9x... olurdu. Yani eğer bir işlemde birden fazla sonsuz varsa bu sonsuzların birbirine eşit olup olmadığını bilemeyiz. Bu nedenle örneğin sonsuz - sonsuz işleminin sonucu sıfır değildir. Benzer olarak sonsuz / sonsuz işleminin sonucu da 1 değildir. Pek çok sonsuz işleminde sonsuzu sonu olmayan bir sayı olarak düşünürsek sonuca kolaylıkla ulaşabiliriz. Örneğin sonsuz + 1 işleminin sonucu sonsuzdur. Çünkü sonu belli olmayan bir sayıya 1 eklersek yine sonu belli olmayan bir sayı elde ederiz. Benzer olarak sonsuz + sonsuz işleminin de sonucu sonsuzdur. Çünkü sonu belli olmayan iki sayıyı toplarsak sonu belli olmayan bir sayı elde ederiz. Sonsuzluk kavramını biraz anladıysak sonsuzluk işlemlerimize ve ispatlarımıza geçebiliriz. Matematiksel olarak bir sayıyı kendisinden çıkarırsak sıfır kalır. Fakat yukarıda da bahsettiğim gibi sonsuz - sonsuz işlemindeki sonsuzlar birbirlerine eşit mi değil mi sorularının cevaplarını bilmiyoruz. Sonsuzların bir sayısal değere sahip ve birbirine eşit büyük bir sayı olduğunu varsayarsak ne gibi hataların oluşacağını görelim. Bu varsayımımıza göre ∞ - ∞ sonucu sıfır olacaktır. Eşitliğin her tarafına 1 eklersek, ∞ - ∞ = 0 ∞ - ∞ + 1 = 0 + 1 ∞ + 1 - ∞ = 1 Daha önce bahsettiğim gibi sonu belli olmayan bir sayı ile 1'i toplarsak, yine sonu belirli olmayan bir sayı elde ederiz. Yani sonsuz ile 1'in toplamı yine sonsuzdur. O halde, ∞ + 1 - ∞ = 1 ∞ - ∞ = 1 olacaktır! sonsuz eksi sonsuz eşitliğinin her tarafına farklı sayılar eklersek, her defasında sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu değişecektir. Bu yüzden sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu "belirsizdir". Sonucu belirsiz olan işlemlere başka bir örnek verelim, Bu belirsizlik için de bir önceki örnekte olduğu gibi sonsuz / sonuz = 1 varsayımını yapıp, hatalarımızı görebiliriz. Öncelikle şunu belirteyim, sonsuz + sonsuz = sonsuz'dur. Çünkü sonu belirli olmayan iki sayının toplamı, yine sonu belirli olmayan bir sayı olacaktır. ∞ / ∞ = 1 ∞ = ∞ + ∞ olduğuna göre ∞ + ∞ / ∞ = 1 Matematikte a + a / a ifadesini a / a + a / a şeklinde yazabildiğimize göre ∞ / ∞ + ∞ / ∞ = 1 ∞ / ∞ = 1 varsayımında bulunduğumuza göre 1 + 1 = 1 2 = 1 veya ∞ / ∞ = 1 ∞ + ∞ + ∞ = ∞ olduğuna göre ∞ + ∞ + ∞ / ∞ = 1 ∞/∞ + ∞/∞ + ∞/∞ = 1 1 + 1 + 1 = 1 3 = 1 olacaktır. Yine varsayımımızda pekçok hatalarla karşılaşıyoruz. Bu yüzden sonsuz / sonsuz işlemi de belirsizdir. Çünkü işlemde yer alan sonsuzların belirli bir değerleri yoktur, yani birbirine eşit sayılar olup olmadığını bilmiyoruz. Sonsuz işlemlerinin yapılabilmesi için matematikte limit işleminden yararlanır. Limit işlemi kesin rakamlar yerine yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder. Örneğin y = 1 / x fonksiyonuna göz atalım x>0. X'in sonsuz değeri için fonksiyonumuz y = 1 / ∞ şeklini alacaktır. Bu nedenle fonksiyonumuzun limit değeri sıfırdır. Çünkü x yerine 1,2,3,4,5..... sayıları koyarsak, yani x'in aşamalı şekilde sonsuza yaklaştığını düşünürsek, her x değeri için bir y değerimiz olur. y = 1 / x fonksiyonu için X>0 x=1 ise y=1 x=2 ise y= x=3 ise y= x=4 ise y= x=5 ise y= . x=100000 ise y= X değeri arttıkça Y değeri küçülür ve X sonsuza yaklaştıkça, Y değeri de sıfıra yaklaşır. Limit işlemi, bu yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder. Yani fonksiyonun x=∞ için limiti sıfırdır. Fonksiyonumuzun grafiği aşağıdaki gibi görünür. X ne kadar artarsa, Y o kadar sıfıra yaklaşır. Belkide en kafa karıştıran sonsuz işlemlerinden bir tanesi 1∞'un Belirsiz olmasıdır. Bu işlem 1x1x1x1x1x..... çarpımlarının sonsuza kadar devam ettiğini gösterir. İlk bakışta "Çarpma işlemi ister 100 tane, ister 10 milyon tane, isterse sonsuz tane olsun, 1'i 1 ile çarparsak sonuç daima 1'dir. Bu nedenle 1∞ işleminin sonucu 1'dir" diye düşünebiliriz. Bu mantık hatalı değildir. Ancak 1∞ için öyle bir durum vardır ki sonucun belirsiz olmasına neden olmuştur. Basit limit işlemleri ile bu durumu görelim. İki fonksiyonumuz olsun fx ve gx. Bu fonksiyonlarımız da aşağıdaki gibi olsun. fx = 1 + 1 / x gx = x Bu fonksiyonlar için x=∞ ise, limx→∞fx limx→∞ 1 + 1 / ∞ limx→∞ 1 + 0 limx→∞ 1 = 1 ve limx→∞gx limx→∞ x = ∞ sonuçlarını elde ederiz. Yani 1∞'a ulaşmak için fxgx işlemini x=∞ için kullanabiliriz. Çünkü yukarıdaki görüldüğü gibi x=∞ için fx=1 ve gx=∞ 'dur. Artık 1∞ sonucuna elde ettiğimiz formül ile fxgx ulaşabiliriz. limx→∞fxgx limx→∞1+1/xx Yukarıda grafikle anlattığım gibi x=∞ için 1/x sonucu sıfırdır. Yani elimizde limx→∞1x limiti kalır ki sonuç 1'dir. Fakat limx→∞1+1/xx Yukarıdaki limit işlemi aynı zamanda matematikte özel bir sayısının ifadesidir. Bu sayı Euler Sayısı'dır e. Euler sayısı yaklaşık olarak değerine sahiptir. Şimdi limit işlemine yeniden bakarsak limx→∞1+1/xx = e = değerine ulaşırız. Gördüğünüz gibi 1∞ için 2 farklı sonuca ulaştık. İşte bu nedenle 1∞ belirsizdir. limx→∞1+1/xx = 1 limx→∞1+1/xx = e = Üslü Sayı Hesaplama Tartışma Sayfası Melisa 10 üzeri -5 kaç ediyor??? Matematikci 1bölü kesir çizgisi - 1000001 bölü 100000 yani Zeynep Üsse eksili bir sayı gelirse katsayı ters çevrilir, böylece üssün eksisinden kurtuluruzYani10 üssü - 5 1-10 üssü 5 eder. İsimsiz kahraman 10 nun yanına 6 sıfır koy © Burada yayınlanan metinler kaynağı ve lisansı bildirilenler hariç ait özgün metinlerdir. Herhangi bir yerden alıntı değildir. Bu metinler derslerde kaynak olarak kullanılabilir ancak başka bir web sitesi, görsel veya yazılı ortamda yayınlanamaz. a tam sayısını n kere kendisi ile çarpma işlemi = an şeklinde gösterilir. an sayısı a’nın n. kuvveti veya a üssü n olarak okunur. Burada a’ya taban, n’ye üs veya kuvvet denir. Aslında tanım bundan ibaret! Tabii bilmemiz gereken bazı kurallar ve işlemler var. 1 sayısının tüm kuvvetleri 1’e eşittir. Örneğin 1198=1 Pozitif tam sayıların, negatif tam sayıların ve rasyonel sayıların sıfırıncı kuvveti / üssü 1 dir. Örneğin 60=1 00 belirsizdir. 02= Sıfırın pozitif kuvvetleri 0’a eşittir. Sıfırın negatif kuvvetleri tanımsızdır. Örneğin 0-8 = Tanımsızdır. 39 = şeklindedir. Cevap 3 üssü 9 sonucu eşittir. 3 üssü 9 = = eder. Öğrenci Fen Projesi / Matematik Projesi Bu Benim Eserim Fen Bilimleri ve Matematik Projeleri Yarışması Bilim Şenliği Projeleri Projenin Adı 3 ün kuvvetleri kaç basamaklı Proje Amacı Örüntüler ve ilişkilerden yararlanarak formül elde edebilmek. Giriş Yapılan literatür taramasına 3 ün kuvvetlerinin kaç basamaklı olduğu ile ilgili yapılan benzer bir konuya proje ile amaçlanan durum, matematik sorularını çözmede pratik çözümler projeyi hazırlarken matematik öğretmenimiz ERDAL BAL ve Okul Müdürümüz YUSUF ÖNTÜRKLER den yardım aldık. Kullanılan yöntemler Kuvveti sıfırdan büyük olan 3 ün doğal sayı kuvvetlerinin kaç basamaklı olduğunu pratik bir yoldan bulmak adına yola çıkarak aşağıdaki yol ve yöntemler izlenmiştir. 3 üssü 1 = 3 3 üssü 2 = 9 Yukarıdaki sonuçlarda 2 tane 1 basamaklı 3 üssü 3 = 27 3 üssü 4 = 81 Yukarıdaki sonuçlarda 2 tane 2 basamaklı 3 üssü 5 = 243 3 üssü 6 = 729 Yukarıdaki sonuçlarda 2 tane 3 basamaklı 3 üssü 7 = 2187 3 üssü 8 = 6561 Yukarıdaki sonuçlarda 2 tane 4 basamaklı 3 üssü 9 = 19683 3 üssü 10 = 59049 Yukarıdaki sonuçlarda 2 tane 5 basamaklı 3 üssü 11 = 177147 3 üssü 12 = 531441 Yukarıdaki sonuçlarda 2 tane 6 basamaklı 3 üssü 13 = 1594323 3 üssü 14 =4782969 Yukarıdaki sonuçlarda 2 tane 7 basamaklı 3 üssü 15 =14348907 3 üssü 16 =43046721 Yukarıdaki sonuçlarda 2 tane 8 basamaklı 3 üssü 17 = 129140163 3 üssü 18 = 387420489 Yukarıdaki sonuçlarda 2 tane 9 basamaklı Yukarıdaki örnekler incelendiğinde 3 ün doğal sayı kuvvetlerinin kuvvetler sıfırda büyük ikişerli gruplar halinde düzenli bir biçimde ilerlediğini görürüz. Sonuç olarak 3 ün çift sayı kuvvetleri ve bu çift sayıların bir eksiğinin kuvvetlerinin basamak sayısını bu çift kuvveti ikiye bölerek sonuç ile 3 ün bölünen kuvvetin bir eksiği olan sayı aynı basamaklıdır. Proje Bütçesi Yok Projenin Takvimi Sonuçlar Matematikte her zaman alternatif bir çözüm yolu bulunabilir. Sonuçların Değerlendirilmesi Bilimsel bilgilerin elde edilmesinde örüntülerden nasıl yararlanıldığını gördük. Kaynaklar Meb Matematik 6 Ders Kitabı Meram Yayınları ADIYAMAN GÖLBAŞI Atatürk Ortaokulu CUMHURİYET CAD NO127 MATEMATİK – 3’ÜN KUVVETLERİ KAÇ BASAMAKLI GÜLÇİN YAVAŞ ALİ ŞAHİN ERDAL BAL

3 üssü 1 kaç eder